SO(3) 是各種 3維旋轉 所構成的群,任何 3 維的旋轉都可以由兩樣東西表示:

1. 旋轉軸的方向 v (一個三維的單位向量)

2. 旋轉的角度 θ (介於 -π 和 π 之間)

 

要圖像化 SO(3) 的結構,我們可以想像一個半徑為 r = π 的三維實心球

球裡的每一點代表一種旋轉,該點的徑向向量就是旋轉軸 v

而點到球心的距離 r 就代表旋轉的角度 θ,其範圍可以從 r = -π 到 π

這是合理的,因為對某方向 v 旋轉 -θ 角,就跟對 –v 方向旋轉 θ 角是一樣的。

此外,因為旋轉 θ = π 和 -π 也是一樣的,所以這顆球的表面上的一點 (r = π) 和其相對的點 (antipodal, r = -π) 是一樣的。也就是說北半球的表面跟南半球的表面視為相同的,並且互相連通。

所以 SO(3) 可以看做是一顆實心球,但南北半球的表面互相連通。

 

就是因為這樣的連通,所以 SO(3) 不是 simply connected (單連通) 的。

簡單的說,一個 simply connected 的拓撲空間,其內部通過任意兩點的一條 closed loop (封閉路徑),必需要可以連續的變形收縮到一個點。

像是 R^2 空間或是實心球體就是 simply connected 的。

而甜甜圈內部就不是 simply connected 的,因為一條繞過甜甜圈中間洞口的封閉路徑,無法連續變形到一個點。

 

SO(3) 雖然長得像實心球,但是它的南北半球表面互通。

如果考慮一條從南極出發,經過球心,再到達北極跟南極相連的封閉路徑,

這條路徑無法連續收縮到一點,所以 SO(3) 不是 simply connected。

 

此外,長得跟 SO(3) 很像的 SU(2),實際上是 simply connected 的。

 

References:
[1] https://zh.wikipedia.org/wiki/單連通
[2] Matthew D. Schwartz, “Quantum Field Theory and the Standard Model", Sec. 10.5.1.

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